Etwas weiter fortgeschrittene Mathematik

Algebraische Geometrie

Sie können in Sage beliebige algebraische Varietäten definieren, aber manchmal ist die nichttriviale Funktionalität auf Ringe über $\mathbf{Q}$ oder endliche Körper beschränkt. Zum Beispiel können wir die Vereinigung zweier affiner, planarer Kurven berechnen, und dann die Kurven als irreduzible Komponenten der Vereinigung zurück erhalten.

Sage

sage: x, y = AffineSpace(2, QQ, 'xy').gens()
sage: C2 = Curve(x^2 + y^2 - 1)
sage: C3 = Curve(x^3 + y^3 - 1)
sage: D = C2 + C3
sage: D
Affine Plane Curve over Rational Field defined by
   x^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1
sage: D.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^3 + y^3 - 1
]

Sage Live

x, y = AffineSpace(2, QQ, 'xy').gens()
C2 = Curve(x^2 + y^2 - 1)
C3 = Curve(x^3 + y^3 - 1)
D = C2 + C3
D
D.irreducible_components()

Python

>>> from sage.all import *
>>> x, y = AffineSpace(Integer(2), QQ, 'xy').gens()
>>> C2 = Curve(x**Integer(2) + y**Integer(2) - Integer(1))
>>> C3 = Curve(x**Integer(3) + y**Integer(3) - Integer(1))
>>> D = C2 + C3
>>> D
Affine Plane Curve over Rational Field defined by
   x^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1
>>> D.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^3 + y^3 - 1
]

Wir können auch alle Punkte im Schnitt der beiden Kurven finden, indem wir diese schneiden und dann die irreduziblen Komponenten berechnen.

Sage

sage: V = C2.intersection(C3)
sage: V.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y,
  x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y - 1,
  x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x + y + 2,
  2*y^2 + 4*y + 3
]

Sage Live

V = C2.intersection(C3)
V.irreducible_components()

Python

>>> from sage.all import *
>>> V = C2.intersection(C3)
>>> V.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y,
  x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y - 1,
  x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x + y + 2,
  2*y^2 + 4*y + 3
]

Also sind zum Beispiel $(1,0)$ und $(0,1)$ auf beiden Kurven (wie man sofort sieht), genauso wie bestimmte (quadratischen) Punkte, deren $y$ Koordinaten $2y^2+4y+3=0$ erfüllen.

Sage kann auch das torische Ideal der gedrehten Kubik im dreidimensionalen projektiven Raum berechnen:

Sage

sage: R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(QQ, 4)
sage: I = ideal(b^2-a*c, c^2-b*d, a*d-b*c)
sage: F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ring
in a, b, c, d over Rational Field
sage: F.reduced_groebner_bases ()
[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [-b*c + a*d, -c^2 + b*d, b^2 - a*c],
 [-c^3 + a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],
 [-c^2 + b*d, b^2 - a*c, b*c - a*d, c^3 - a*d^2],
 [-b*c + a*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d],
 [-b^3 + a^2*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d],
 [-b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]
sage: F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4

Sage Live

R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(QQ, 4)
I = ideal(b^2-a*c, c^2-b*d, a*d-b*c)
F = I.groebner_fan(); F
F.reduced_groebner_bases ()
F.polyhedralfan()

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(QQ, Integer(4), names=('a', 'b', 'c', 'd',)); (a, b, c, d,) = R._first_ngens(4)
>>> I = ideal(b**Integer(2)-a*c, c**Integer(2)-b*d, a*d-b*c)
>>> F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ring
in a, b, c, d over Rational Field
>>> F.reduced_groebner_bases ()
[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [-b*c + a*d, -c^2 + b*d, b^2 - a*c],
 [-c^3 + a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],
 [-c^2 + b*d, b^2 - a*c, b*c - a*d, c^3 - a*d^2],
 [-b*c + a*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d],
 [-b^3 + a^2*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d],
 [-b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]
>>> F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4

Elliptische Kurven

Die Funktionalität elliptischer Kurven beinhaltet die meisten von PARIs Funktionen zu elliptischen Kurven, den Zugriff auf die Daten von Cremonas Online-Tabellen (dies benötigt ein optionales Datenbankpaket), die Funktionen von mwrank, d.h. 2-Abstiege mit der Berechnung der vollen Mordell-Weil-Gruppe, der SEA Algorithmus, Berechnung aller Isogenien, viel neuem Code für Kurven über $\mathbf{Q}$ und Teile von Denis Simons „algebraic descent“ Software.

Der Befehl EllipticCurve zum Erzeugen von Elliptischen Kurven hat viele Formen:

• EllipticCurve([$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_6$]): Gibt die elliptische Kurve

  $$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6,$$

  zurück, wobei die $a_i$’s umgewandelt werden zum Typ von $a_1$. Falls alle $a_i$ den Typ $\mathbf{Z}$ haben, werden sie zu $\mathbf{Q}$ umgewandelt.

• EllipticCurve([$a_4$, $a_6$]): Das Gleiche wie oben, jedoch ist $a_1=a_2=a_3=0$.

• EllipticCurve(label): Gibt die elliptische Kurve aus der Datenbank von Cremona mit dem angegebenen (neuen!) Cremona-Label zurück. Das Label ist ein String, wie z.B. "11a" oder "37b2". Die Buchstaben müssen klein geschrieben sein (um sie von dem alten Label unterscheiden zu können).

• EllipticCurve(j): Gibt die elliptische Kurve mit $j$-Invariante $j$ zurück.

• EllipticCurve(R, [$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_6$]): Erzeugt die elliptische Kurve über dem Ring $R$ mit vorgegebenen $a_i$’s wie oben.

Wir veranschaulichen jede dieser Konstruktionen:

Sage

sage: EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve([GF(5)(0),0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

sage: EllipticCurve([1,2])
Elliptic Curve defined by y^2  = x^3 + x + 2 over Rational Field

sage: EllipticCurve('37a')
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve_from_j(1)
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field

sage: EllipticCurve(GF(5), [0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

Sage Live

EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
EllipticCurve([GF(5)(0),0,1,-1,0])
EllipticCurve([1,2])
EllipticCurve('37a')
EllipticCurve_from_j(1)
EllipticCurve(GF(5), [0,0,1,-1,0])

Python

>>> from sage.all import *
>>> EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

>>> EllipticCurve([GF(Integer(5))(Integer(0)),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

>>> EllipticCurve([Integer(1),Integer(2)])
Elliptic Curve defined by y^2  = x^3 + x + 2 over Rational Field

>>> EllipticCurve('37a')
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

>>> EllipticCurve_from_j(Integer(1))
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field

>>> EllipticCurve(GF(Integer(5)), [Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

Das Paar $(0,0)$ ist ein Punkt auf der elliptischen Kurve $E$ definiert durch $y^2+y=x^3-x$. Um diesen Punkt in Sage zu erzeugen, geben Sie E([0,0]) ein. Sage kann auf einer solchen elliptischen Kurve Punkte addieren (erinnern Sie sich: elliptische Kurven haben eine additive Gruppenstruktur, wobei der unendlich ferne Punkt das Nullelement ist, und drei kollineare Punkte auf der Kurve sich zu Null addieren):

Sage

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: P = E([0,0])
sage: P + P
(1 : 0 : 1)
sage: 10*P
(161/16 : -2065/64 : 1)
sage: 20*P
(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)
sage: E.conductor()
37

Sage Live

E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
E
P = E([0,0])
P + P
10*P
20*P
E.conductor()

Python

>>> from sage.all import *
>>> E = EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])
>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
>>> P = E([Integer(0),Integer(0)])
>>> P + P
(1 : 0 : 1)
>>> Integer(10)*P
(161/16 : -2065/64 : 1)
>>> Integer(20)*P
(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)
>>> E.conductor()
37

Die elliptischen Kurven über den komplexen Zahlen sind durch die $j$-Invariante parametrisiert. Sage berechnet $j$-Invarianten wie folgt:

Sage

sage: E = EllipticCurve([0,0,0,-4,2]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: E.conductor()
2368
sage: E.j_invariant()
110592/37

Sage Live

E = EllipticCurve([0,0,0,-4,2]); E
E.conductor()
E.j_invariant()

Python

>>> from sage.all import *
>>> E = EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(0),-Integer(4),Integer(2)]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
>>> E.conductor()
2368
>>> E.j_invariant()
110592/37

Wenn wir eine Kurve mit der gleichen $j$-Invarianten wie $E$ erstellen, muss diese nicht isomorph zu $E$ sein. Im folgenden Beispiel sind die Kurven nicht isomorph, da ihre Führer unterschiedlich sind.

Sage

sage: F = EllipticCurve_from_j(110592/37)
sage: F.conductor()
37

Sage Live

F = EllipticCurve_from_j(110592/37)
F.conductor()

Python

>>> from sage.all import *
>>> F = EllipticCurve_from_j(Integer(110592)/Integer(37))
>>> F.conductor()
37

Jedoch ergibt der Twist von $F$ mit 2 eine isomorphe Kurve.

Sage

sage: G = F.quadratic_twist(2); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: G.conductor()
2368
sage: G.j_invariant()
110592/37

Sage Live

G = F.quadratic_twist(2); G
G.conductor()
G.j_invariant()

Python

>>> from sage.all import *
>>> G = F.quadratic_twist(Integer(2)); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
>>> G.conductor()
2368
>>> G.j_invariant()
110592/37

Wir können die Koeffizienten $a_n$ der zur elliptischen Kurve gehörenden $L$-Reihe oder der Modulform $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{q}^n$ berechnen. Die Berechnung benutzt die PARI C-Bibliothek:

Sage

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E.anlist(30)
[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
 3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]
sage: v = E.anlist(10000)

Sage Live

E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
E.anlist(30)
v = E.anlist(10000)

Python

>>> from sage.all import *
>>> E = EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])
>>> E.anlist(Integer(30))
[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
 3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]
>>> v = E.anlist(Integer(10000))

Alle Koeffizienten $a_n$ bis zu $n\le {10}^5$ zu berechnen dauert nur eine Sekunde:

Sage

sage: %time v = E.anlist(100000)
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06

Sage Live

%time v = E.anlist(100000)

Python

>>> from sage.all import *
>>> %time v = E.anlist(Integer(100000))
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06

Elliptische Kurven können mit Hilfe ihres Cremona-Labels konstruiert werden. Dies lädt die Kurve zusammen mit Informationen über ihren Rank, mit Tamagawa Zahlen, Regulatoren, usw..

Sage

sage: E = EllipticCurve("37b2")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field
sage: E = EllipticCurve("389a")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x  over Rational Field
sage: E.rank()
2
sage: E = EllipticCurve("5077a")
sage: E.rank()
3

Sage Live

E = EllipticCurve("37b2")
E
E = EllipticCurve("389a")
E
E.rank()
E = EllipticCurve("5077a")
E.rank()

Python

>>> from sage.all import *
>>> E = EllipticCurve("37b2")
>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field
>>> E = EllipticCurve("389a")
>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x  over Rational Field
>>> E.rank()
2
>>> E = EllipticCurve("5077a")
>>> E.rank()
3

Wir können auch direkt auf die Cremona-Datenbank zugreifen.

Sage

sage: db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()
sage: db.curves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}
sage: db.allcurves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],
 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],
 'b2': [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],
 'b3': [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}

Sage Live

db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()
db.curves(37)
db.allcurves(37)

Python

>>> from sage.all import *
>>> db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()
>>> db.curves(Integer(37))
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}
>>> db.allcurves(Integer(37))
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],
 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],
 'b2': [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],
 'b3': [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}

Die Objekte, die aus der Datenbank zurückgegeben werden, sind nicht vom Typ EllipticCurve. Sie sind Elemente einer Datenbank und haben ein paar Komponenten, und das war’s. Es gibt eine kleine Version von Cremonas Datenbank, die standardmäßig zu Sage gehört und beschränkte Information zu elliptischen Kurven mit Führer $\le 10000$ enthält. Es gibt auch eine große optionale Version, welche ausgiebige Daten zu allen elliptischen Kurven mit Führer bis zu $120000$ enthält (Stand Oktober 2005). Es gibt auch ein riesiges (2GB großes) optionales Datenbank-Paket für Sage, das in der Stein-Watkins Datenbank hunderte Millionen von elliptischen Kurven enthält.

Dirichlet-Charaktere

Ein Dirichlet Charakter ist die Erweiterung eines Homomorphismus $(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}{)}^{\ast }\to R^{\ast }$, für einen Ring $R$, zu der Abbildung $\mathbf{Z}\to R$, welche erhalten wird, wenn man diese ganzen Zahlen $x$ mit $gcd(N,x)>1$ nach $0$ schickt.

Sage

sage: G = DirichletGroup(12)
sage: G.list()
[Dirichlet character modulo 12 of conductor 1 mapping 7 |--> 1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 12 mapping 7 |--> -1, 5 |--> -1]
sage: G.gens()
(Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1)
sage: len(G)
4

Sage Live

G = DirichletGroup(12)
G.list()
G.gens()
len(G)

Python

>>> from sage.all import *
>>> G = DirichletGroup(Integer(12))
>>> G.list()
[Dirichlet character modulo 12 of conductor 1 mapping 7 |--> 1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 12 mapping 7 |--> -1, 5 |--> -1]
>>> G.gens()
(Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1)
>>> len(G)
4

Nachdem wir dies Gruppe erzeugt haben, erstellen wir als nächstes ein Element und rechnen damit.

Sage

sage: G = DirichletGroup(21)
sage: chi = G.1; chi
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6
sage: chi.values()
[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
 0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]
sage: chi.conductor()
7
sage: chi.modulus()
21
sage: chi.order()
6
sage: chi(19)
-zeta6 + 1
sage: chi(40)
-zeta6 + 1

Sage Live

G = DirichletGroup(21)
chi = G.1; chi
chi.values()
chi.conductor()
chi.modulus()
chi.order()
chi(19)
chi(40)

Python

>>> from sage.all import *
>>> G = DirichletGroup(Integer(21))
>>> chi = G.gen(1); chi
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6
>>> chi.values()
[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
 0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]
>>> chi.conductor()
7
>>> chi.modulus()
21
>>> chi.order()
6
>>> chi(Integer(19))
-zeta6 + 1
>>> chi(Integer(40))
-zeta6 + 1

Es ist auch möglich die Operation der Galoisgruppe $\text{Gal}(\mathbf{Q}({\zeta }_N)/\mathbf{Q})$ auf diesen Charakteren zu berechnen, sowie die Zerlegung in direkte Produkte, die der Faktorisierung des Moduls entsprechen.

Sage

sage: chi.galois_orbit()
[Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> -zeta6 + 1,
 Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6]

sage: go = G.galois_orbits()
sage: [len(orbit) for orbit in go]
[1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1]

sage: G.decomposition()
[
Group of Dirichlet characters modulo 3 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2,
Group of Dirichlet characters modulo 7 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
]

Sage Live

chi.galois_orbit()
go = G.galois_orbits()
[len(orbit) for orbit in go]
G.decomposition()

Python

>>> from sage.all import *
>>> chi.galois_orbit()
[Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> -zeta6 + 1,
 Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6]

>>> go = G.galois_orbits()
>>> [len(orbit) for orbit in go]
[1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1]

>>> G.decomposition()
[
Group of Dirichlet characters modulo 3 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2,
Group of Dirichlet characters modulo 7 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
]

Als nächstes konstruieren wir die Gruppe der Dirichlet-Charaktere mod 20, jedoch mit Werten in $\mathbf{Q}(i)$:

Sage

sage: K.<i> = NumberField(x^2+1)
sage: G = DirichletGroup(20,K)
sage: G
Group of Dirichlet characters modulo 20 with values in Number Field in i with defining polynomial x^2 + 1

Sage Live

K.<i> = NumberField(x^2+1)
G = DirichletGroup(20,K)
G

Python

>>> from sage.all import *
>>> K = NumberField(x**Integer(2)+Integer(1), names=('i',)); (i,) = K._first_ngens(1)
>>> G = DirichletGroup(Integer(20),K)
>>> G
Group of Dirichlet characters modulo 20 with values in Number Field in i with defining polynomial x^2 + 1

Nun berechnen wir mehrere Invarianten von G:

Sage

sage: G.gens()
(Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1,
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> i)

sage: G.unit_gens()
(11, 17)
sage: G.zeta()
i
sage: G.zeta_order()
4

Sage Live

G.gens()
G.unit_gens()
G.zeta()
G.zeta_order()

Python

>>> from sage.all import *
>>> G.gens()
(Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1,
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> i)

>>> G.unit_gens()
(11, 17)
>>> G.zeta()
i
>>> G.zeta_order()
4

In diesem Beispiel erzeugen wir einen Dirichlet-Charakter mit Werten in einem Zahlenfeld. Wir geben die Wahl der Einheitswurzel im dritten Argument von DirichletGroup an.

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: K = NumberField(x^4 + 1, 'a'); a = K.0
sage: b = K.gen(); a == b
True
sage: K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: G = DirichletGroup(5, K, a); G
Group of Dirichlet characters modulo 5 with values in the group of order 8 generated by a in Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: chi = G.0; chi
Dirichlet character modulo 5 of conductor 5 mapping 2 |--> a^2
sage: [(chi^i)(2) for i in range(4)]
[1, a^2, -1, -a^2]

Sage Live

x = polygen(QQ, 'x')
K = NumberField(x^4 + 1, 'a'); a = K.0
b = K.gen(); a == b
K
G = DirichletGroup(5, K, a); G
chi = G.0; chi
[(chi^i)(2) for i in range(4)]

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> K = NumberField(x**Integer(4) + Integer(1), 'a'); a = K.gen(0)
>>> b = K.gen(); a == b
True
>>> K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
>>> G = DirichletGroup(Integer(5), K, a); G
Group of Dirichlet characters modulo 5 with values in the group of order 8 generated by a in Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
>>> chi = G.gen(0); chi
Dirichlet character modulo 5 of conductor 5 mapping 2 |--> a^2
>>> [(chi**i)(Integer(2)) for i in range(Integer(4))]
[1, a^2, -1, -a^2]

Hier teilt NumberField(x^4 + 1, 'a') Sage mit, dass es das Symbol „a“ beim Ausgeben dessen was K ist (ein Zahlenfeld mit definierendem Polynom $x^4+1$) benutzen soll. Der Name „a“ ist zu diesem Zeitpunkt nicht deklariert. Sobald a = K.0 (oder äquivalent a = K.gen()) evaluiert wurde, repräsentiert das Symbol „a“ eine Wurzel des erzeugenden Polynoms $x^4+1$.

Modulformen

Sage kann einige Berechnungen im Zusammenhang mit Modulformen durchführen, einschließlich Dimensionsberechnungen, das Berechnen von Räumen von Symbolen von Modulformen, Hecke-Operatoren, und Dekompositionen.

Es stehen mehrere Funktionen für das Berechnen von Dimensionen von Räumen von Modulformen zur Verfügung. Zum Beispiel,

Sage

sage: from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112

Sage Live

from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)

Python

>>> from sage.all import *
>>> from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(11)),Integer(2))
1
>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(1)),Integer(12))
1
>>> dimension_cusp_forms(Gamma1(Integer(389)),Integer(2))
6112

Als nächstes illustrieren wir die Berechnung von Hecke-Operatoren auf einem Raum von Modulformen von Level $1$ und Gewicht $12$.

Sage

sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)
sage: t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)
of weight 12 with sign 0 over Rational Field
sage: t2.matrix()
[ -24    0    0]
[   0  -24    0]
[4860    0 2049]
sage: f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

Sage Live

M = ModularSymbols(1,12)
M.basis()
t2 = M.T(2)
t2
t2.matrix()
f = t2.charpoly('x'); f
factor(f)
M.T(11).charpoly('x').factor()

Python

>>> from sage.all import *
>>> M = ModularSymbols(Integer(1),Integer(12))
>>> M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
>>> t2 = M.T(Integer(2))
>>> t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)
of weight 12 with sign 0 over Rational Field
>>> t2.matrix()
[ -24    0    0]
[   0  -24    0]
[4860    0 2049]
>>> f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
>>> factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
>>> M.T(Integer(11)).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

Wir können auch Räume für ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ und ${\mathrm{\Gamma }}_1(N)$ erzeugen.

Sage

sage: ModularSymbols(11,2)
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
 0 over Rational Field
sage: ModularSymbols(Gamma1(11),2)
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 with
sign 0 over Rational Field

Sage Live

ModularSymbols(11,2)
ModularSymbols(Gamma1(11),2)

Python

>>> from sage.all import *
>>> ModularSymbols(Integer(11),Integer(2))
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
 0 over Rational Field
>>> ModularSymbols(Gamma1(Integer(11)),Integer(2))
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 with
sign 0 over Rational Field

Nun berechnen wir ein paar charakteristische Polynome und $q$-Entwicklungen.

Sage

sage: M = ModularSymbols(Gamma1(11),2)
sage: M.T(2).charpoly('x')
x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4
     + 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)
        * (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)
sage: S = M.cuspidal_submodule()
sage: S.T(2).matrix()
[-2  0]
[ 0 -2]
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
    q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)
]

Sage Live

M = ModularSymbols(Gamma1(11),2)
M.T(2).charpoly('x')
M.T(2).charpoly('x').factor()
S = M.cuspidal_submodule()
S.T(2).matrix()
S.q_expansion_basis(10)

Python

>>> from sage.all import *
>>> M = ModularSymbols(Gamma1(Integer(11)),Integer(2))
>>> M.T(Integer(2)).charpoly('x')
x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4
     + 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452
>>> M.T(Integer(2)).charpoly('x').factor()
(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)
        * (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)
>>> S = M.cuspidal_submodule()
>>> S.T(Integer(2)).matrix()
[-2  0]
[ 0 -2]
>>> S.q_expansion_basis(Integer(10))
[
    q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)
]

Wir können sogar Räume von Modulsymbolen mit Charakteren berechnen.

Sage

sage: G = DirichletGroup(13)
sage: e = G.0^2
sage: M = ModularSymbols(e,2); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character
[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - zeta6 - 2) * (x - 2*zeta6 - 1) * (x + zeta6 + 1)^2
sage: S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space of
dimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: S.T(2).charpoly('x').factor()
(x + zeta6 + 1)^2
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5
  + (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)
]

Sage Live

G = DirichletGroup(13)
e = G.0^2
M = ModularSymbols(e,2); M
M.T(2).charpoly('x').factor()
S = M.cuspidal_submodule(); S
S.T(2).charpoly('x').factor()
S.q_expansion_basis(10)

Python

>>> from sage.all import *
>>> G = DirichletGroup(Integer(13))
>>> e = G.gen(0)**Integer(2)
>>> M = ModularSymbols(e,Integer(2)); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character
[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
>>> M.T(Integer(2)).charpoly('x').factor()
(x - zeta6 - 2) * (x - 2*zeta6 - 1) * (x + zeta6 + 1)^2
>>> S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space of
dimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
>>> S.T(Integer(2)).charpoly('x').factor()
(x + zeta6 + 1)^2
>>> S.q_expansion_basis(Integer(10))
[
q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5
  + (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)
]

Hier ist ein weiteres Beispiel davon wie Sage mit den Operationen von Hecke-Operatoren auf dem Raum von Modulformen rechnen kann.

Sage

sage: T = ModularForms(Gamma0(11),2)
sage: T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) of
weight 2 over Rational Field
sage: T.degree()
2
sage: T.level()
11
sage: T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)
sage: T.dimension()
2
sage: T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 for
Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: M = ModularSymbols(11); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
sage: M.weight()
2
sage: M.basis()
((1,0), (1,8), (1,9))
sage: M.sign()
0

Sage Live

T = ModularForms(Gamma0(11),2)
T
T.degree()
T.level()
T.group()
T.dimension()
T.cuspidal_subspace()
T.eisenstein_subspace()
M = ModularSymbols(11); M
M.weight()
M.basis()
M.sign()

Python

>>> from sage.all import *
>>> T = ModularForms(Gamma0(Integer(11)),Integer(2))
>>> T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) of
weight 2 over Rational Field
>>> T.degree()
2
>>> T.level()
11
>>> T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)
>>> T.dimension()
2
>>> T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 for
Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
>>> T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
>>> M = ModularSymbols(Integer(11)); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
>>> M.weight()
2
>>> M.basis()
((1,0), (1,8), (1,9))
>>> M.sign()
0

Sei $T_p$ die Bezeichnung der gewöhnlichen Hecke-Operatoren ($p$ prim). Wie operieren die Hecke-Operatoren $T_2$, $T_3$, $T_5$ auf dem Raum der Modulsymbole?

Sage

sage: M.T(2).matrix()
[ 3  0 -1]
[ 0 -2  0]
[ 0  0 -2]
sage: M.T(3).matrix()
[ 4  0 -1]
[ 0 -1  0]
[ 0  0 -1]
sage: M.T(5).matrix()
[ 6  0 -1]
[ 0  1  0]
[ 0  0  1]

Sage Live

M.T(2).matrix()
M.T(3).matrix()
M.T(5).matrix()

Python

>>> from sage.all import *
>>> M.T(Integer(2)).matrix()
[ 3  0 -1]
[ 0 -2  0]
[ 0  0 -2]
>>> M.T(Integer(3)).matrix()
[ 4  0 -1]
[ 0 -1  0]
[ 0  0 -1]
>>> M.T(Integer(5)).matrix()
[ 6  0 -1]
[ 0  1  0]
[ 0  0  1]

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